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有两个样本点的样本空间是最简单的样本空间。如果样本点的数目有限或可数,则称该样本空间为
离散样本空间;如果样本点的数目不可数,则称该样本空间是连续样本空间。
随机现象的些样本点组成的集合称作随机事件,简称事件。样本空间Ω的最大子集(即Ω自
身)称作必然事件、最小子集(即空集∅)称作不可能事件。用来表示随机现象结果的变量称作随
机变量。
例27.1. 骰子(亦作色子)是一种古老的赌具,多为正立方体六面骰,各面刻有一至六个点数,并
且彼此相对的两面数字之和为七。骰子最早出现在两千年前的埃及,古埃及人称其“astragal”。 在
中国,相传骰子是由三国时的文学家曹植所发明,最初用作占卜工具,后来演变成后宫嫔妃的游
戏,根据掷骰子的点数赌酒或赌丝绸香袋等物。当时骰子的点穴上涂的是黑色,唐代时增加描红。
赌场内的荷官摇掷骰子透过骰子的点数定输赢,每一场赌局投掷骰子的点数都可能不
同。 荷 官 投 掷 骰 子 的 事 件 可 以 看 作 是 一 个 随 机 事 件, 记 作X,所有可能的投掷结果构成样本空
间Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},“投掷的骰子点数大于4”的事件可以使用“X>4”表示。
随机事件的不同结果的发生存在不同程度的可能性,有些结果可能性大有些可能性小。概
率论最基本的一个问题是定义随机事件的概率,以刻画事件发生的可能性。16世纪,意大利学
者Gerolamo Cardano
➊
开始研究赌博游戏中的一些简单问题,其死后发表的《论赌博游戏》(Liber
de ludo aleae)给出了一些概率论的基本概念和定理,被认为是第一部概率论著作。在Cardano以
后约三百年的时间里,Blaise Pascal、Pierre de Fermat、 Jacob Bernoulli等数学家都在古典概率
计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作。1812年,法国数学家Pierre-Simon Laplace在
《概率的分析理论》(Th
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eorie analytique des probabilit
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es)中给出概率的古典定义:事件A的概率等
于一次试验中出现事件A的可能结果数目与该事件中所有可能结果数目之比。古典定义通过简单
明了的方式定义了事件的概率,并给出简单可行的方法。古典定义是在经验事实的基础上,对
被考察事件的可能性进行逻辑分析后得到的事件概率。 古典定义的基本假设有两个:(甲)随机
事件可能结果总数有限;(乙)每个结果的出现有同等可能。 Jacob Bernoulli在研究古典概率时发
现Bernoulli大数定律,即“频率具有稳定性”,从而可以“用频率估计概率”。
概率论发展的历史,诞生过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观
定义。1900年,38岁的德国数学家David Hilbert在世界数学家大会上出建立概率公理系统的问
题,也就是著名的Hilbert 23个问题中的第6个问题。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论,以
及随后发展的抽象测度和积分理论,为概率论公理体系的建立奠定了基础。1933年,前苏联数学
家Andrey Kolmogorov[349]运用集合论和测度论正式给出概率严密的公理化定义,既概括了古典
➊ Gerolamo Cardano(1501–1576), 意 大 利 数 学 家 、 医 学 家 、 物 理 学 家 , 统 计 学 创 始 人 。 1526年获帕维亚大学医学博士学位,后成为
欧洲名医,曾任英国国王爱德华六世的御医,并曾任教于帕维亚大学、博洛尼亚大学。他学识渊博,一生写作出版各类文章、书籍200多
种,被誉为百科全书式的学者。他的家庭生活非常不幸。 他最喜爱的大儿子詹巴蒂斯塔因杀死不忠的妻子于1560年被判死刑。他的女儿沦
为妓女,死于梅毒。他的另一个儿子是个赌徒,经常偷窃他的财物。他自己因为推算耶稣的出生星位,被指控为大逆不道,于1570年入
狱,并失去教职。更为可悲的是,他的儿子参与了指控。出狱后他移居罗马,获得了教皇格里高利十三世(Pope Gregory XIII)的年金资
助,完成了自己的自传。据说,他七十一岁时通过占星术推算出自己将在1576 年9月21 日去世,但是到那一天时,他活得像头壮牛;为了
保全自己大星象学家的名声,他自杀了。
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